Définition des degrés de liberté

Que sont les degrés de liberté ?

Les degrés de liberté font référence au nombre maximum de valeurs logiquement indépendantes, qui sont des valeurs qui ont la liberté de varier, dans l’échantillon de données.

Points clés à retenir

• Les degrés de liberté font référence au nombre maximum de valeurs logiquement indépendantes, qui sont des valeurs qui ont la liberté de varier, dans l’échantillon de données.
• Les degrés de liberté sont généralement examinés en relation avec diverses formes de tests d’hypothèses en statistique, comme le chi carré.
• Le calcul des degrés de liberté est essentiel pour comprendre l’importance d’une statistique du Chi carré et la validité de l’hypothèse nulle.

Comprendre les degrés de liberté

La façon la plus simple de comprendre les degrés de liberté sur le plan conceptuel est de prendre un exemple :

• Considérons un échantillon de données composé, par souci de simplicité, de cinq entiers positifs. Les valeurs peuvent être n’importe quel nombre sans relation connue entre eux. Cet échantillon de données aurait, théoriquement, cinq degrés de liberté.
• Quatre des nombres de l’échantillon sont {3, 8, 5 et 4} et la moyenne de l’ensemble de l’échantillon de données se révèle être de 6.
• Cela signifie que le cinquième chiffre doit être 10. Il ne peut rien être d’autre. Il n’a pas la liberté de varier.
• Le degré de liberté pour cet échantillon de données est donc de 4.

La formule des degrés de liberté est égale à la taille de l’échantillon de données moins un :

$\begin{array}{cc}& {\text{Df=N-1}}_{}\\ & \text{où :}\\ & {\text{Df=dégrèvements}}_{}\text{de liberté}\\ & \mathrm{N=échantillon}\end{array}$

de

$&text{D}_text{f} = N – 1 &textbf{où:} &text{D}_text{f} = texte{degré de liberté} &N = texte{taille de l’échantillon} end{aligned}$

Df=N-1 où : Df=degréde liberté N=taillede l’échantillon

Les degrés de liberté sont couramment discutés en relation avec diverses formes de tests d’hypothèses dans les statistiques, comme le chi carré. Il est essentiel de calculer les degrés de liberté lorsqu’on essaie de comprendre l’importance d’une statistique du Chi carré et la validité de l’hypothèse nulle.

Tests du chi carré

Il existe deux types de tests du Chi carré : le test d’indépendance, qui pose une question de relation, telle que « Y a-t-il une relation entre le sexe et les résultats du SAT », et le test de validité, qui pose une question telle que « Si une pièce de monnaie est tirée 100 fois, va-t-elle sortir 50 fois à pile ou face ?

Pour ces tests, des degrés de liberté sont utilisés pour déterminer si une certaine hypothèse nulle peut être rejetée en fonction du nombre total de variables et d’échantillons de l’expérience. Par exemple, en ce qui concerne les étudiants et le choix des cours, un échantillon de 30 ou 40 étudiants n’est probablement pas assez grand pour générer des données significatives. Obtenir des résultats identiques ou similaires à partir d’une étude utilisant un échantillon de 400 ou 500 étudiants est plus valable.

Histoire des degrés de liberté

Le concept le plus ancien et le plus fondamental des degrés de liberté a été noté au début des années 1800, entrelacé dans les travaux du mathématicien et astronome Carl Friedrich Gauss. L’usage et la compréhension modernes de ce terme ont d’abord été expliqués par William Sealy Gosset, un statisticien anglais, dans son article « The Probable Error of a Mean », publié dans Biometrika en 1908 sous un nom de plume pour préserver son anonymat.

Dans ses écrits, Gosset n’a pas spécifiquement utilisé le terme « degrés de liberté ». Il a cependant donné une explication de ce concept tout au long du développement de ce qui allait être connu sous le nom de distribution en T des étudiants. Ce n’est qu’en 1922 que ce terme est devenu populaire. Le biologiste et statisticien anglais Ronald Fisher a commencé à utiliser le terme « Degrés de liberté » lorsqu’il a commencé à publier des rapports et des données sur son travail de développement du chi carré.