Moyenne arithmétique vs moyenne géométrique

Quelle est la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique ?

Il existe de nombreuses façons de mesurer les performances d’un portefeuille financier et de déterminer si une stratégie d’investissement est fructueuse. Les professionnels de l’investissement utilisent souvent la moyenne géométrique,

plus communément appelée « moyenne géométrique ».

Key Takeaways :

• La moyenne géométrique est la plus appropriée pour les séries qui présentent une corrélation en série. Cela est particulièrement vrai pour les portefeuilles d’investissement.
• La plupart des rendements dans la finance sont corrélés, y compris les rendements des obligations, les rendements des actions et les primes de risque du marché. Plus l’horizon temporel est long, plus la composition devient critique et plus l’utilisation de la moyenne géométrique est appropriée.
• Pour les chiffres volatils, la moyenne géométrique fournit une mesure beaucoup plus précise du rendement réel en tenant compte de la capitalisation d’une année sur l’autre.

La moyenne géométrique diffère de la moyenne arithmétique, ou moyenne arithmétique, dans la manière dont elle est calculée car elle tient compte de la composition qui se produit d’une période à l’autre. Pour cette raison, les investisseurs considèrent généralement que la moyenne géométrique est une mesure plus précise des rendements que la moyenne arithmétique.

La formule de la moyenne arithmétique

$\begin{array}{cc}& \mathrm{A=1n\sum i=1nai=a1+a2+}\frac{\dots +ann}{}\\ & \text{où :}\\ & {\mathrm{a1}}_{},{\mathrm{a2}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c},\dots ,\text{an=Rendements}\end{array}$

du

$&A = frac{1}{n} sum_{i =1}^n a_i = frac{a_1 + a_2 + dotso$

+ a_n}{n}

$&textbf{where:} &a_1, a_2, dotso, a_n=text{Rendement du portefeuille pour la période } n &n=text{Nombre de périodes}$

$end{aligned}$

$$

A= n 1 i=1

na

i= n

a1+a2+…+a

n

où : a

1

xml-ph-0

1:25

Comment calculer la moyenne arithmétique

Une moyenne arithmétique est la somme d’une série de nombres divisée par le nombre de cette série de nombres.

Si l’on vous demandait de trouver la moyenne (arithmétique) des notes d’examen de la classe, vous additionneriez simplement toutes les notes d’examen des élèves et diviseriez cette somme par le nombre d’élèves. Par exemple, si cinq étudiants ont passé un examen et que leurs scores étaient de 60 %, 70 %, 80 %, 90 % et 100 %, la moyenne arithmétique de la classe serait de 80 %.

Le calcul se ferait comme suit :

$&frac {60$

$= 80$

5 60%+70%+80%+90%+100% =80%

La raison pour laquelle nous utilisons une moyenne arithmétique pour les résultats des tests est que chaque score est un événement indépendant. Si un élève obtient une mauvaise note à l’examen, les chances de l’élève suivant d’obtenir une mauvaise (ou une bonne) note à l’examen ne sont pas affectées.

Dans le monde de la finance, la moyenne arithmétique n’est généralement pas une méthode appropriée pour calculer une moyenne. Prenons par exemple le rendement des investissements. Supposons que vous ayez investi votre épargne sur les marchés financiers pendant cinq ans. Si le rendement annuel de votre portefeuille était de 90 %, 10 %, 20 %, 30 % et -90 %, quel serait votre rendement moyen pendant cette période ?

Avec la moyenne arithmétique, le rendement moyen serait de 12 %, ce qui semble impressionnant à première vue – mais ce n’est pas tout à fait exact. En effet, lorsqu’il s’agit des rendements annuels des investissements, les chiffres ne sont pas indépendants les uns des autres. Si vous perdez une somme d’argent importante au cours d’une année donnée, vous avez beaucoup moins de capital à investir et à générer des rendements les années suivantes.

Nous devons calculer la moyenne géométrique de vos rendements d’investissement pour arriver à une mesure précise de ce que serait votre rendement annuel moyen réel sur la période de cinq ans.

La formule de la moyenne géométrique

$\begin{array}{cc}& {\underset{}{\overset{}{(}}}^{\frac{\mathrm{\prod i=1nxi}}{}}\text{exception 25:}\\ & \text{où :}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{x1}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{},{\mathrm{x2}}_{},\text{⋯=Rendements}\end{array}$

du

$&left( prod_{i = 1}^n x_i right)^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{x_1 x_2 points x$

_n}

$&textbf{where:} &x_1, x_2, points = text{Rendements du portefeuille pour chaque période} &n = texte{Nombre de périodes}$

$end{aligned}$

$$

(i=1 nxi)

n 1 =

n

x1

x2…

x

n

où :

x1,xxml-ph-

Comment calculer la moyenne géométrique

La moyenne géométrique d’une série de nombres est calculée en prenant le produit de ces nombres et en l’élevant à l’inverse de la longueur de la série.

Pour ce faire, nous ajoutons un à chaque chiffre (pour éviter tout problème de pourcentage négatif). Ensuite, on multiplie tous les chiffres ensemble et on élève leur produit à la puissance un divisée par le nombre de chiffres de la série. Ensuite, nous soustrayons un du résultat.

La formule, écrite en décimales, ressemble à ceci :



$begin{aligned} &[ ( 1 + text{R}_1) times (1 + text{R}_2) times (1 + text{R}_3) dotso times (1 + text{R}_n) ]^{frac {1}{n} } – 1 &textbf{where:} &text{R} = texte{Retour} &n = texte{Compte des numéros de la série} N – fin{aligné}$

​[(1R1​)×(1R2​)×(1R3​)…×(1Rn​)]n1​−1où :R=Retourn=Nombre de numéros dans la série​

La formule semble complexe, mais sur le papier, elle n’est pas si difficile. Pour revenir à notre exemple, nous calculons la moyenne géométrique : Nos rendements étant de 90 %, 10 %, 20 %, 30 % et -90 %, nous les intégrons dans la formule comme :

$\begin{array}{cc}& (1,\mathrm{9\times 1}\end{array}$

$\begin{array}{c},\mathrm{1\times 1}\end{array}$

$\begin{array}{c},\mathrm{2\times 1}\end{array}$

,

$\begin{array}{c}\mathrm{3\times 0}\end{array}$

$&(1,9 fois 1,1 fois 1,2 fois 1,3 fois 0,1)^{frac{1}{5}}$

$-1 end{aligned}$

(1.9×1.1×1.2×1.3×0.1) 5 1 -1

Le résultat donne un rendement annuel moyen géométrique de -20,08%. Le résultat utilisant la moyenne géométrique est bien pire que la moyenne arithmétique de 12 % que nous avons calculée précédemment, et malheureusement, c’est aussi le nombre qui représente la réalité dans ce cas.