Qu’est-ce que le théorème de la limite centrale (CLT) ?
Dans l’étude de la théorie des probabilités, le théorème de la limite centrale (CLT) indique que la distribution de l’échantillon se rapproche d’une distribution normale (également appelée « courbe en cloche ») lorsque la taille de l’échantillon augmente, en supposant que tous les échantillons sont de taille identique, et quelle que soit la forme de la distribution de la population.
Autrement dit, la CLT est une théorie statistique qui stipule qu’étant donné une taille d’échantillon suffisamment importante d’une population avec un niveau de variance fini, la moyenne de tous les échantillons d’une même population sera approximativement égale à la moyenne de la population. En outre, tous les échantillons suivront un schéma de distribution approximativement normal, toutes les variances étant approximativement égales à la variance de la population, divisée par la taille de chaque échantillon.
Points clés à retenir
- Le théorème de la limite centrale (CLT) stipule que la distribution des moyennes de l’échantillon se rapproche d’une distribution normale à mesure que la taille de l’échantillon augmente.
- Une taille d’échantillon égale ou supérieure à 30 est considérée comme suffisante pour que le CLT tienne.
- Un aspect clé du CLT est que la moyenne des moyennes d’échantillon et des écarts types sera égale à la moyenne de la population et à l’écart type.
- Une taille d’échantillon suffisamment importante permet de prédire avec précision les caractéristiques d’une population.
Bien que ce concept ait été développé pour la première fois par Abraham de Moivre en 1733, il n’a été officiellement nommé qu’en 1930, lorsque le célèbre mathématicien hongrois George Polya l’a officiellement baptisé Théorème de la limite centrale.
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Comprendre le Théorème de la limite centrale (CLT)
Selon le théorème de la limite centrale, la moyenne d’un échantillon de données sera plus proche de la moyenne de l’ensemble de la population en question, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, nonobstant la distribution réelle des données. En d’autres termes, les données sont exactes, que la distribution soit normale ou aberrante.
En règle générale, une taille d’échantillon égale ou supérieure à 30 est jugée suffisante pour que la CLT tienne, ce qui signifie que la distribution des moyennes de l’échantillon est assez normalement répartie. Par conséquent, plus on prélève d’échantillons, plus les résultats grapillés prennent la forme d’une distribution normale.
Le théorème de la limite centrale présente un phénomène où la moyenne de l’échantillon est égale à la moyenne de la population et à l’écart-type, ce qui est extrêmement utile pour prédire avec précision les caractéristiques des populations.
Le théorème de la limite centrale en finance
La CLT est utile pour examiner les rendements d’une action individuelle ou d’indices plus larges, car l’analyse est simple, en raison de la relative facilité à générer les données financières nécessaires. Par conséquent, les investisseurs de tous types comptent sur la CLT pour analyser les rendements des actions, construire des portefeuilles et gérer les risques.
Supposons, par exemple, qu’un investisseur souhaite analyser le rendement global d’un indice boursier composé de 1 000 actions. Dans ce scénario, cet investisseur peut simplement étudier un échantillon aléatoire d’actions, pour cultiver les rendements estimés de l’indice total. Au moins 30 actions choisies au hasard, dans divers secteurs, doivent être échantillonnées, pour que le théorème de la limite centrale se maintienne. En outre, les actions sélectionnées précédemment doivent être remplacées par des noms différents, afin d’éliminer tout biais.