Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle ?
La probabilité conditionnelle est définie comme la probabilité qu’un événement ou un résultat se produise, sur la base de l’occurrence d’un événement ou d’un résultat antérieur. La probabilité conditionnelle est calculée en multipliant la probabilité de l’événement précédent par la probabilité actualisée de l’événement suivant, ou conditionnel.
Par exemple :
- L’événement A est qu’il pleut dehors, et il y a 0,3 (30%) de chances qu’il pleuve aujourd’hui.
- L’événement B est qu’il vous faudra sortir, et il y a une probabilité de 0,5 (50%).
- P(A|B) = (0,3*0,5)/0,3 = 50%.
Une probabilité conditionnelle examinerait ces deux événements en relation l’un avec l’autre, par exemple la probabilité qu’il pleuve et que vous deviez sortir.
La probabilité conditionnelle peut être comparée à la probabilité inconditionnelle.
Points clés à retenir
- La probabilité conditionnelle fait référence aux chances qu’un certain résultat se produise étant donné qu’un autre événement s’est également produit.
- Elle est souvent exprimée comme la probabilité de « A donné B » et s’écrit P(A|B), où la probabilité de A dépend de celle de B de se produire.
- P(A|B) est obtenu en multipliant la probabilité que A et B se produisent et en divisant ce produit par la probabilité que A se produise lui-même.
Comprendre la probabilité conditionnelle
Comme indiqué précédemment, les probabilités conditionnelles dépendent d’un résultat antérieur. Elle fait également un certain nombre d’hypothèses. Par exemple, supposons que vous dessiniez trois billes – rouge, bleue et verte – dans un sac. Chaque bille a une chance égale d’être tirée. Quelle est la probabilité conditionnelle de tirer la bille rouge après avoir déjà tiré la bille bleue ? Tout d’abord, la probabilité de tirer une bille bleue est d’environ 33% car c’est un résultat possible sur trois. En supposant que ce premier événement se produise, il restera deux billes, chacune ayant 50% de chances d’être tirée. Ainsi, la probabilité de tirer une bille bleue après avoir déjà tiré une bille rouge serait d’environ 16,5 % (33 % x 50 %).
Pour mieux comprendre ce concept, considérez qu’un dé équitable a été lancé et qu’on vous demande de donner la probabilité qu’il s’agisse d’un cinq. Il y a six résultats également probables, votre réponse est donc 1/6. Mais imaginez qu’avant de répondre, vous obteniez une information supplémentaire indiquant que le chiffre obtenu était impair. Comme il n’y a que trois nombres impairs possibles, dont l’un est cinq, vous réviseriez certainement votre estimation de la probabilité qu’un cinq ait été obtenu en passant de 1/6 à 1/3. Cette probabilité révisée qu’un événement A se soit produit, compte tenu des informations supplémentaires selon lesquelles un autre événement B s’est définitivement produit lors de cette expérience, est appelée probabilité conditionnelle de A par rapport à B et est désignée par P(A|B).
Formule de probabilité conditionnelle
P(B|A) = P(A et B) / P(A)
que vous pouvez également réécrire comme :
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Un autre exemple de probabilité conditionnelle
Autre exemple : supposons qu’un étudiant demande à être admis dans une université et espère recevoir une bourse d’études. L’école à laquelle il postule accepte 100 candidats sur 1 000 (10 %) et accorde des bourses d’études à 10 étudiants sur 500 qui sont acceptés (2 %). Parmi les boursiers, 50 % d’entre eux reçoivent également des allocations universitaires pour les livres, les repas& et le logement. Pour notre étudiant ambitieux, le changement d’être accepté puis de recevoir une bourse est de 0,2% (.1 x 0,02). La probabilité qu’ils soient acceptés, qu’ils reçoivent la bourse, puis qu’ils reçoivent également une allocation pour les livres, etc. est de 0,1 % (0,1 x 0,02 x 0,5). Voir aussi le théorème de Bayes.
Probabilité conditionnelle vs. probabilité conjointe et probabilité marginale
Probabilité conditionnelle: p(A|B) est la probabilité que l’événement A se produise, étant donné que l’événement B se produit. Exemple : étant donné que vous avez tiré un carton rouge, quelle est la probabilité que ce soit un quatre (p(four|red))=2/26=1/13. Donc sur les 26 cartons rouges (ayant reçu un carton rouge), il y a deux quatre, donc 2/26=1/13.
Probabilité marginale: la probabilité qu’un événement se produise (p(A)), on peut la considérer comme une probabilité inconditionnelle. Elle n’est pas conditionnée par un autre événement. Exemple : la probabilité qu’une carte tirée soit rouge (p(rouge) = 0,5). Autre exemple : la probabilité qu’une carte soit tirée est un 4 (p(quatre)=1/13).
Probabilité conjointe: p(A et B). La probabilité que l’événement A et l’événement B se produisent. C’est la probabilité de l’intersection de deux ou plusieurs événements. La probabilité de l’intersection de A et B peut s’écrire p(A ∩ B). Exemple : la probabilité qu’une carte soit un quatre et rouge =p(quatre et rouge) = 2/52=1/26. (Il y a deux quatre rouges dans un paquet de 52, le 4 de coeur et le 4 de carreau).
Théorème de Bayes
Le théorème de Bayes, nommé d’après le mathématicien britannique du 18e siècle Thomas Bayes, est une formule mathématique permettant de déterminer la probabilité conditionnelle. Le théorème fournit un moyen de réviser les prédictions ou théories existantes (mise à jour des probabilités) en fonction de preuves nouvelles ou supplémentaires. En finance, le théorème de Bayes peut être utilisé pour évaluer le risque de prêter de l’argent à des emprunteurs potentiels.
Le théorème de Bayes est également appelé règle de Bayes ou loi de Bayes et constitue le fondement du domaine des statistiques bayésiennes. Cet ensemble de règles de probabilité permet d’actualiser les prévisions d’événements en fonction des nouvelles informations reçues, ce qui permet d’obtenir des estimations plus fiables et plus dynamiques.