Les compagnies d’assurance s’appuient sur la loi des grands nombres pour estimer la valeur et la fréquence des sinistres futurs qu’elles paieront aux assurés. Lorsque cela fonctionne parfaitement, les compagnies d’assurance gèrent une entreprise stable, les consommateurs paient une prime juste et exacte, et l’ensemble du système financier évite de graves perturbations. Toutefois, les avantages théoriques de la loi des grands nombres ne se concrétisent pas toujours dans le monde réel.
Qu’est-ce que la loi des grands nombres ?
La loi des grands nombres découle de la théorie des probabilités en statistique. Elle propose que lorsque l’échantillon d’observations augmente, la variation autour de l’observation moyenne diminue. En d’autres termes, la valeur moyenne gagne en pouvoir prédictif.
Prenons par exemple un simple procès dans lequel quelqu’un retourne une pièce de 25 cents. Chaque fois que la pièce de 25 cents atterrit sur la tête, la personne enregistre un point. Aucun point n’est enregistré lorsqu’elle atterrit sur la queue. La valeur attendue d’un tirage au sort dans cette épreuve est de 0,5 point car il n’y a que 50% de chances que la pièce de 25 cents atterrisse sur la tête.
Si vous ne tirez à pile ou face que deux fois, la valeur moyenne pourrait s’avérer loin de la valeur attendue. Les têtes consécutives produisent une valeur moyenne d’un point tandis que deux queues ont une valeur moyenne de zéro point. Plus le nombre d’observations est élevé, plus il est probable que la valeur moyenne se rapproche de la valeur escomptée. S’il y a 53 têtes et 47 queues pendant 100 retournements, la valeur moyenne serait de 0,53, ce qui est très proche de la valeur attendue de 0,5.
C’est ainsi que fonctionne la loi des grands nombres.
Points clés à retenir
- La loi des grands nombres théorise que la moyenne d’un grand nombre de résultats reflète étroitement la valeur attendue, et que la différence se réduit à mesure que l’on introduit plus de résultats.
- Dans l’assurance, avec un grand nombre d’assurés, la perte réelle par événement sera égale à la perte attendue par événement.
- La loi des grands nombres est moins efficace pour les assurances santé et incendie où les assurés sont indépendants les uns des autres.
- Avec le grand nombre d’assureurs offrant différents types de couverture, la demande de variété augmente, ce qui rend la loi des grands nombres moins avantageuse.
Comprendre la loi des grands nombres dans l’assurance
Dans le secteur de l’assurance, la loi des grands nombres produit son axiome. Plus le nombre d’unités d’exposition (assurés) augmente, plus la probabilité que la perte réelle par unité d’exposition soit égale à la perte attendue par unité d’exposition est élevée. En langage économique, on peut dire que la production d’assurance est rentable.
Concrètement, cela signifie qu’il est plus facile d’établir la prime correcte et donc de réduire l’exposition au risque pour l’assureur, car un plus grand nombre de polices sont émises dans une classe d’assurance donnée. Il est préférable pour une compagnie d’assurance d’émettre 500 polices d’assurance incendie plutôt que 150, en supposant une distribution de probabilité stable et indépendante pour l’exposition aux pertes.
Pour voir les choses autrement, supposons qu’une compagnie d’assurance maladie découvre que cinq personnes sur 150 subiront une blessure grave et coûteuse au cours d’une année donnée. Si la compagnie n’assure que 10 ou 25 personnes, elle est confrontée à des risques bien plus importants que si elle peut assurer les 150 personnes. La compagnie peut être plus sûre que les 150 assurés paieront collectivement des primes suffisantes pour couvrir les demandes d’indemnisation de cinq clients qui ont subi des blessures graves.
Considérations particulières
Selon la National Association of Insurance Commissioners, il y avait près de 6 000 compagnies d’assurance aux États-Unis en 2016. Certains assureurs ont plus de succès que d’autres qui offrent le même type de couverture ou une couverture similaire. Si les rendements d’échelle sont de plus en plus importants dans le secteur de l’assurance, grâce à la loi des grands nombres, alors pourquoi y a-t-il autant de compagnies d’assurance plutôt que quelques géants qui dominent le secteur ?
Tout d’abord, toutes les compagnies d’assurance ne sont pas aussi expertes dans le domaine de l’assurance. Il s’agit notamment de maintenir l’efficacité opérationnelle, de calculer les primes effectives et d’atténuer l’exposition aux pertes après le dépôt d’une demande d’indemnisation. La plupart de ces caractéristiques n’ont pas d’incidence sur la loi des grands nombres.
Cependant, la loi des grands nombres devient moins efficace lorsque les assurés à risque sont indépendants les uns des autres. C’est dans les secteurs de l’assurance maladie et de l’assurance incendie que l’on constate le plus facilement cette situation, car les maladies et les incendies peuvent se propager d’un assuré à l’autre s’ils ne sont pas correctement maîtrisés. Ce problème est connu sous le nom de contagion.
Il existe également des risques potentiellement assurables pour lesquels la loi des grands nombres pourrait théoriquement être utile, mais il n’y a pas suffisamment de clients potentiels pour la faire fonctionner. Pensez à essayer d’assurer une ville contre le risque de guerre nucléaire ou biologique. Il faudrait que des milliers ou des millions de grandes villes paient des primes pour compenser le coût d’un risque réalisé. Il n’y a pas assez de villes dans le monde pour que cela fonctionne.
Enfin, chaque consommateur d’assurance a une préférence individuelle en matière de risque, de temps et de prix pour l’assurance. À mesure que la variété des demandes augmente, le bénéfice potentiel de la loi des grands nombres diminue, car moins de personnes souhaitent des types de couverture similaires.