Définition du modèle Black Scholes

Qu’est-ce que le modèle Black Scholes ?

Le modèle Black Scholes, également connu sous le nom de modèle Black-Scholes-Merton (BSM), est un modèle mathématique permettant de fixer le prix d’un contrat d’option. Le modèle estime notamment la variation dans le temps des instruments financiers. Il suppose que ces instruments (tels que les actions ou les contrats à terme) auront une distribution lognormale des prix. En utilisant cette hypothèse et en tenant compte d’autres variables importantes, l’équation permet de calculer le prix d’une option d’achat.

Points clés à retenir

Le modèle de Black-Scholes Merton (BSM) est une équation différentielle utilisée pour résoudre les prix des options.
Ce modèle a remporté le prix Nobel d’économie.
Le modèle BSM standard n’est utilisé que pour fixer le prix des options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d’expiration.

Les bases du modèle Black Scholes

Le modèle suppose que le prix des actifs fortement échangés suit un mouvement géométrique brownien avec une dérive et une volatilité constantes. Lorsqu’il est appliqué à une option sur actions, le modèle intègre la variation constante du prix de l’action, la valeur temporelle de l’argent, le prix d’exercice de l’option et le délai d’expiration de l’option.

Appelé aussi Black-Scholes-Merton, il a été le premier modèle largement utilisé pour l’évaluation des options. Il est utilisé pour calculer la valeur théorique des options en utilisant les prix actuels des actions, les dividendes attendus, le prix d’exercice de l’option, les taux d’intérêt attendus, le délai d’expiration et la volatilité attendue.

La formule, développée par trois économistes – Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton – est peut-être le modèle d’évaluation des options le plus connu au monde. L’équation initiale a été introduite dans l’article de Black et Scholes de 1973, « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », publié dans le Journal of Political Economy

. Black est décédé deux ans avant que Scholes et Merton ne reçoivent le prix Nobel d’économie en 1997 pour leurs travaux visant à trouver une nouvelle méthode de détermination de la valeur des produits dérivés (le prix Nobel n’est pas décerné à titre posthume ; toutefois, le comité Nobel a reconnu le rôle de Black dans le modèle Black-Scholes).

Le modèle Black-Scholes fait certaines hypothèses :

L’option est européenne et ne peut être exercée qu’à l’expiration.
Aucun dividende n’est versé pendant la durée de vie de l’option.
Les marchés sont efficaces (c’est-à-dire qu’il est impossible de prévoir les mouvements du marché).
L’achat de l’option n’entraîne pas de frais de transaction.
Le taux sans risque et la volatilité du sous-jacent sont connus et constants.
Les rendements de l’actif sous-jacent sont normalement distribués.

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Alors que le modèle Black-Scholes original ne prenait pas en compte les effets des dividendes versés pendant la durée de vie de l’option, le modèle est fréquemment adapté pour tenir compte des dividendes en déterminant la valeur à la date ex-dividende de l’action sous-jacente.

La formule Black Scholes

Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, vous n’avez pas besoin de connaître ou même de comprendre les mathématiques pour utiliser la modélisation de Black-Scholes dans vos propres stratégies. Les négociateurs d’options ont accès à toute une série de calculateurs d’options en ligne, et de nombreuses plateformes de négociation actuelles disposent d’outils d’analyse d’options robustes, notamment des indicateurs et des feuilles de calcul qui effectuent les calculs et fournissent les valeurs de prix des options.

La formule de l’option d’achat Black Scholes est calculée en multipliant le prix de l’action par la fonction de distribution de probabilité normale standard cumulée. Ensuite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d’exercice multiplié par la distribution normale standard cumulée est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.

En notation mathématique :

&C = S_t N(d _1) – K e ^{-rt} N(d _2) &textbf{where

$C=S_{t} N (d_{1}) -Ke^{-rtN} (d_{2}) où :$

$d_{1} =_{s} t$

$ln K S$

$_{t} + ( r+ 2_{v 2} ) t xml-ph-1515@$ $C=Prix$ de l’ $option$ d’ $achat S=Prix$ de l’ $action courante (ou autre sous-jacent)$ $K=Prix$ d’ $exercice r=Taux$ d’ $intérêt sans risque t=Temps$ à l’ $échéance N=Distribution normale$

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Que vous dit le modèle des Black Scholes ?

Le modèle Black Scholes est l’un des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Il a été développé en 1973 par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé aujourd’hui. Il est considéré comme l’un des meilleurs moyens de déterminer le juste prix des options. Le modèle Black Scholes nécessite cinq variables d’entrée : le prix d’exercice d’une option, le prix actuel de l’action, le délai d’expiration, le taux sans risque et la volatilité.

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Le modèle suppose que les prix des actions suivent une distribution lognormale car les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs (ils sont limités à zéro). C’est ce qu’on appelle une distribution gaussienne. Souvent, on observe que les prix des actifs présentent une asymétrie droite importante et un certain degré d’aplatissement (queues grasses). Cela signifie que les mouvements à la baisse à haut risque se produisent souvent plus souvent sur le marché qu’une distribution normale ne le prévoit.

L’hypothèse de prix des actifs sous-jacents lognormaux devrait donc montrer que les volatilités implicites sont similaires pour chaque prix d’exercice selon le modèle de Black-Scholes. Toutefois, depuis le krach boursier de 1987, les volatilités implicites des options at the money sont inférieures à celles des options plus éloignées de la monnaie ou loin dans la monnaie. La raison de ce phénomène est que le marché fixe les prix en fonction d’une plus grande probabilité d’un mouvement de forte volatilité à la baisse sur les marchés.

Cela a conduit à la présence d’un biais de volatilité. Lorsque les volatilités implicites pour des options ayant la même date d’expiration sont représentées sur un graphique, on peut voir un sourire ou une forme de biais. Ainsi, le modèle de Black-Scholes n’est pas efficace pour calculer la volatilité implicite.

Limites du modèle Black Scholes

Comme indiqué précédemment, le modèle Black Scholes n’est utilisé que pour fixer le prix des options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d’expiration. En outre, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai dans la réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante pendant la durée de vie de l’option, ce qui n’est pas le cas car la volatilité fluctue en fonction du niveau de l’offre et de la demande.

En outre, le modèle suppose qu’il n’y a pas de coûts de transaction ni de taxes, que le taux d’intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances, que la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée et qu’il n’y a pas de possibilités d’arbitrage sans risque. Ces hypothèses peuvent conduire à des prix qui s’écartent du monde réel où ces facteurs sont présents.