Calcul de la valeur actuelle et future des rentes

La plupart d’entre nous ont fait l’expérience d’effectuer une série de paiements fixes sur une certaine période de temps, comme le paiement d’un loyer ou d’une voiture, ou de recevoir une série de paiements pendant une certaine période, comme les intérêts d’une obligation ou d’un certificat de dépôt (CD). Ces paiements récurrents ou continus sont techniquement appelés « rentes » (à ne pas confondre avec le produit financier appelé rente, bien que les deux soient liés).

Il existe plusieurs façons de mesurer le coût de ces paiements ou leur valeur finale. Voici ce que vous devez savoir sur le calcul de la valeur actuelle (PV) ou future (FV) d’une rente.

Points clés à retenir

Les paiements récurrents, tels que le loyer d’un appartement ou les intérêts d’une obligation, sont parfois appelés « annuités ».
Dans les annuités ordinaires, les paiements sont effectués à la fin de chaque période. Dans le cas des rentes viagères, ils sont effectués au début de la période.
La valeur future d’une rente est la valeur totale des paiements à un moment précis.
La valeur actuelle est la somme d’argent qui serait nécessaire aujourd’hui pour produire ces paiements futurs.

Deux types de rentes

Les rentes, dans ce sens, se décomposent en deux types de base : les rentes ordinaires et les rentes viagères.

Lesrentes ordinaires: Une rente ordinaire effectue (ou exige) des paiements à la fin de chaque période. Par exemple, les obligations rapportent généralement des intérêts à la fin de chaque semestre.
Lesrentes sont exigibles : Dans le cas d’une rente viagère, en revanche, les paiements sont effectués au début de chaque période. Le loyer, que les propriétaires exigent généralement au début de chaque mois, est un exemple courant.

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Vous pouvez calculer la valeur actuelle ou future d’une rente ordinaire ou d’une rente due en utilisant les formules suivantes.

Calcul de la valeur future d’une rente ordinaire

La valeur future (VF) est une mesure de la valeur d’une série de paiements réguliers à un moment donné dans l’avenir, compte tenu d’un taux d’intérêt déterminé. Ainsi, par exemple, si vous prévoyez d’investir un certain montant chaque mois ou chaque année, elle vous indiquera combien vous aurez accumulé à une date ultérieure. Si vous effectuez des versements réguliers sur un prêt, la valeur future est utile pour déterminer le coût total du prêt.

Prenons, par exemple, une série de cinq paiements de 1 000 dollars effectués à intervalles réguliers.

En raison de la valeur temporelle de l’argent – le concept selon lequel toute somme donnée vaut plus maintenant qu’elle ne vaudra à l’avenir parce qu’elle peut être investie entre-temps – le premier paiement de 1 000 dollars vaut plus que le second, et ainsi de suite. Supposons donc que vous investissiez 1 000 dollars chaque année pendant les cinq prochaines années, à un taux d’intérêt de 5 %. Vous trouverez ci-dessous le montant dont vous disposerez à la fin de la période de cinq ans.

Plutôt que de calculer chaque paiement individuellement puis de les additionner tous, vous pouvez toutefois utiliser la formule suivante, qui vous indiquera combien d’argent vous aurez au final :

&text{FV}_{text{Ordinary~Annuity}} = texte{C} fois à gauche [frac { (1 + i) ^ n – 1 }{ i } à droite] &textbf{where:} &text{C} = text{cash flow per period} &i = texte{taux d’intérêt} &n = texte{nombre de paiements} end{aligned}

$FV_{Rente ordinaire} =C\times [\frac{( 1+i}{i}$ $)$ $^{n-1}] où : C=flux de trésorerie par période i=taux d’intérêt n=nombre de paiements$

En utilisant l’exemple ci-dessus, voici comment cela fonctionnerait :

\begin{matrix} {FVOrdinary}_{Annuity} & =$1, 000× [(1+0 \end{matrix}

\begin{matrix} . \\ 05)^{5-10} \end{matrix}

\begin{matrix} . 05] \\ =$1 \end{matrix}

\begin{matrix} , \\ 000×5 \end{matrix}

text{FV}_{text{Ordinary~Annuity}}} &= $1,000 times left [frac { (1 + 0.05) ^ 5 -1 }{ 0.05 } right ] &= $1,000 times 5.53 &= $5,525

63 end{aligné}

$FV_{Rente ordinaire} =$1$ $, 000\times [\frac{( 1+0}{. 05}$ $.$ $05$ $)$ $^{5-1}] =$ $$1$ $, 000\times5 . 53 =$ $$5$ $, 525.63$

Notez que la différence d’un cent dans ces résultats, 5 525,64 $ contre 5 525,63 $, est due à l’arrondissement du premier calcul.

Calcul de la valeur actuelle d’une rente ordinaire

Contrairement au calcul de la valeur future, le calcul de la valeur actuelle (PV) vous indique combien d’argent serait nécessaire maintenant pour produire une série de paiements dans le futur, en supposant là encore un taux d’intérêt fixe.

En utilisant le même exemple de cinq paiements de 1 000 dollars effectués sur une période de cinq ans, voici à quoi ressemblerait un calcul de la valeur actuelle. Il montre que 4 329,58 dollars, investis à un taux d’intérêt de 5 %, seraient suffisants pour produire ces cinq paiements de 1 000 dollars.

C’est la formule applicable :

begin{aligned} &text{PV}_{text{Ordinary~Annuity}} = text{C} times left [ frac { 1 – (1 + i) ^ { -n }}{ i } right ] end{aligned}

$PV_{Ordinary Annuity} =C\times [\frac{1- ( 1}{i}$ $+i$ $)^{-n}]$

Si nous introduisons les mêmes chiffres que ci-dessus dans l’équation, voici le résultat :

begin{aligned} text{PV}_{text{Ordinary~Annuity}} &=1 000 fois à gauche [ frac {1 – (1 + 0.05) ^ { -5 } }{ 0.05 } à droite ] &=1 000 fois 4,33 &=4 329,48 end{aligned}

$PV_{Rente ordinaire} = 1, \times [\frac{1 - 1 . 5 ) ^{- 5}}{. 5}] = 1, \times 4.33 = 4, 329.48$

Calcul de la valeur future d’une rente due

Vous vous souvenez peut-être qu’une rente due se distingue d’une rente ordinaire en ce que les paiements de la rente due sont effectués au début, et non à la fin, de chaque période.

Pour tenir compte des paiements effectués au début de chaque période, il faut modifier légèrement la formule utilisée pour calculer la valeur future d’une rente ordinaire et obtenir des valeurs plus élevées, comme indiqué ci-dessous.

La raison pour laquelle les valeurs sont plus élevées est que les paiements effectués au début de la période ont plus de temps pour produire des intérêts. Par exemple, si les 1 000 dollars ont été investis le 1er janvier plutôt que le 31 janvier, ils auront un mois supplémentaire pour s’accroître.

La formule pour la valeur future d’une rente due est la suivante :

begin{aligned} text{FV}_{text{Annuity Due}}} &= text{C} times left [ frac{ (1 + i) ^ n –

1}{ i } droite ] fois (1 + i) fin{aligné}

$FV_{Rente due} =C\times [\frac{( 1+i}{i}$ $)$ $^{n-1}] \times (1$ $+i$ $)$

Ici, nous utilisons les mêmes chiffres que dans nos exemples précédents :

\begin{matrix} {FVAnnuity}_{Due} & =$1, 000× [(1+0 . 05)^{5-10} \end{matrix}

\begin{matrix} . 05]\times (1+0 \end{matrix}

\begin{matrix} . \end{matrix}

\begin{matrix} 05 \end{matrix}

\begin{matrix} ) \\ = \end{matrix}

\begin{matrix} $1 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} , 000×5 \end{matrix}

\begin{matrix} 53×1 \end{matrix}

\begin{matrix} 05 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} = \end{matrix}

\begin{matrix} $5 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

text{FV}_{text{Annuity Due}}} &= 1 000 fois à gauche [ frac{ (1 + 0,05)^5 – 1}{ 0,05 } à droite ] fois (1 + 0,05) &= 1 000 fois 5,53 fois 1,05 &= 5 801

$FV_{Rente due} =$1$ $, 000\times [$ $.$ $05$ $( 1+0$ $.$ $05$ $)$ $^{5-1}] \times (1+0$ $.$ 05 $)$ $=$ $$1$ $, 000\times5$ . $53\times1$ . $05$ $=$ $$5$ $, 801.91$

Là encore, veuillez noter que la différence d’un cent dans ces résultats, 5 801,92 $ contre 5 801,91 $, est due à l’arrondissement du premier calcul.

Calcul de la valeur actuelle d’une rente due

De même, la formule de calcul de la valeur actuelle d’une rente due tient compte du fait que les paiements sont effectués au début plutôt qu’à la fin de chaque période.

Par exemple, vous pourriez utiliser cette formule pour calculer la valeur actuelle de vos futurs paiements de loyer, comme indiqué dans votre bail. Supposons que vous payez un loyer de 1 000 $ par mois. Ci-dessous, nous pouvons voir ce que les cinq prochains mois vous coûteraient, en termes de valeur actuelle, en supposant que vous conserviez votre argent sur un compte rapportant 5 % d’intérêt.

C’est la formule de calcul de la valeur actuelle d’une rente due :

begin{aligned} text{PV}_{text{Annuity Due}} = text{C} times left [ frac{1 – (1 + i) ^ { -n } }{ i } droite ] fois (1 + i) end{aligné}

$PV_{Rente due} =C\times [\frac{1- ( 1}{i}$ $+i$ $)$ $^{-n}] \times (1$ $+i$ $)$

Donc, dans cet exemple :

begin{aligned} text{PV}_{text{Annuity Due}} &= 1 000 fois à gauche [ tfrac{ (1 – (1 + 0,05) ^{ -5 } }{ 0,05 } à droite] fois (1 + 0,05) &= 1 000 fois 4,33 fois1,05 &= 4 545,95 end{aligned}

$PV_{Rente due} = 1, \times [\frac{( 1 - ( 1 . 5 ) ^{- 5}}{. 5}] \times (1.5) = 1, \times 4.33 \times 1.5$

=$4,545.95

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Les formules décrites ci-dessus permettent – et c’est relativement facile, si vous n’avez pas peur des chiffres – de déterminer la valeur présente ou future d’une rente ordinaire ou d’une rente due. Les calculateurs financiers (que vous pouvez trouver en ligne) permettent également de les calculer pour vous avec les entrées correctes.