Comprendre le modèle binomial d'évaluation des options

Déterminer le prix des actions

Il est difficile de s’entendre sur la tarification précise de tout actif négociable, c’est pourquoi les cours des actions changent constamment. En réalité, les entreprises ne modifient guère leurs évaluations au jour le jour, mais le prix et l’évaluation de leurs actions changent presque chaque seconde. Cette difficulté à parvenir à un consensus sur la tarification correcte de tout actif négociable conduit à des possibilités d’arbitrage de courte durée.

Mais beaucoup d’investissements réussis se résument à une simple question d’évaluation actuelle : quel est le juste prix actuel pour un gain futur attendu ?

Évaluation des options binomiales

Sur un marché concurrentiel, pour éviter les possibilités d’arbitrage, les actifs ayant des structures de rémunération identiques doivent avoir le même prix. L’évaluation des options a été une tâche difficile et les variations de prix conduisent à des possibilités d’arbitrage. Le modèle Black-Scholes reste l’un des plus populaires pour évaluer les options, mais il a ses limites.

Le modèle binomial d’évaluation des options est une autre méthode populaire utilisée pour évaluer les options.

Exemples

Supposons qu’il existe une option d’achat sur une action particulière dont le prix actuel du marché est de 100 dollars. L’option à l’argent (ATM) a un prix d’exercice de 100 $ avec un délai d’expiration d’un an. Deux négociateurs, Peter et Paula, s’accordent à dire que le cours de l’action augmentera à 110 $ ou diminuera à 90 $ en un an.

Ils s’accordent sur les niveaux de prix attendus dans un délai donné d’un an, mais ne sont pas d’accord sur la probabilité d’une hausse ou d’une baisse. Peter pense que la probabilité que le prix de l’action atteigne 110 dollars est de 60 %, tandis que Paula pense qu’elle est de 40 %.

Sur cette base, qui serait prêt à payer plus cher pour l’option d’achat ? Peut-être Peter, car il s’attend à une forte probabilité de hausse.

Calculs des options binomiales

Les deux actifs, dont dépend l’évaluation, sont l’option d’achat et l’action sous-jacente. Il existe un accord entre les participants selon lequel le prix de l’action sous-jacente peut passer de 100 dollars actuellement à 110 ou 90 dollars en un an et il n’y a pas d’autres mouvements de prix possibles.

Dans un monde sans arbitrage, si vous devez créer un portefeuille composé de ces deux actifs, l’option d’achat et l’action sous-jacente, de telle sorte que, quelle que soit l’évolution du prix sous-jacent – 110 ou 90 dollars – le rendement net du portefeuille reste toujours le même. Supposons que vous achetiez des actions « d » du sous-jacent et que vous vendez à découvert une option d’achat pour créer ce portefeuille.

Si le prix passe à 110 $, vos actions vaudront 110 $*j, et vous perdrez 10 $ sur le remboursement de l’appel court. La valeur nette de votre portefeuille sera de (110d – 10).

Si le prix descend à 90 $, vos actions vaudront 90 $*d, et l’option expirera sans valeur. La valeur nette de votre portefeuille sera de (90d).

Si vous souhaitez que la valeur de votre portefeuille reste la même, quelle que soit la tendance du cours de l’action sous-jacente, alors la valeur de votre portefeuille doit rester la même dans les deux cas :

\begin{matrix} h (d)-m=l (d) \\ où : \\ h=Prix sous-jacent \\ le \\ plus élevé \\ possible \\ d=Nombre \end{matrix}

d’

\begin{matrix} actions \end{matrix}

sous-jacentes

\begin{matrix} m=Perte \\ d \end{matrix}

‘

\begin{matrix} argent sur le gain d’un appel à découvert \\ l=Prix sous-jacent \end{matrix}

le plus

&h(d) – m = l ( d ) &textbf{où:} &h = text{Prix sous-jacent potentiel le plus élevé} &d = texte{Nombre d’actions sous-jacentes} &m = text{Money lost on short call payoff} &l = text{Prix sous-jacent le plus bas possible} end{aligned}

$h (d)-m=l (d) où : h$ =Prix $sous-jacent$ le $plus élevé possible d=Nombre$ d’ $actions$ sous-jacentes $m=Monnaie perdue sur le gain d’un call court l=Prix sous-jacent$ le $plus bas possible$

Ainsi, si vous achetez une demi-action, en supposant que des achats fractionnés soient possibles, vous parviendrez à créer un portefeuille de sorte que sa valeur reste la même dans les deux états possibles dans le délai donné d’un an.

&110d – 10 = 90d &d = frac{ 1 }{ 2 }

end{aligned}

$110d-10=90d d= \frac{1}{2}$

Cette valeur du portefeuille, indiquée par (90d) ou (110d – 10) = 45, est à un an d’intervalle. Pour calculer sa valeur actuelle, elle peut être actualisée par le taux de rendement sans risque (en supposant 5 %).

text{Present Value} &= 90d times e^ { (-5% times 1 text{ Year}) } }

&= 45 fois 0,9523 &= 42,85 fin{aligné}

$Valeur actuelle =90d\timese^{(-5%\times1 Année)} =45\times0$ $, 9523 =42$ $, 85$

Étant donné qu’à l’heure actuelle, le portefeuille se compose de l’action sous-jacente ½ (avec un prix de marché de 100 $) et d’un call court, il devrait être égal à la valeur actuelle.

\begin{matrix} 12×100-1×Call Price=42, 85 \end{matrix}

&frac { 1 }{ 2} times 100 – 1 times text{Call Price} =

85 $ &text{Call Price} = 7,14 $ text{, c’est-à-dire le prix de l’appel d’aujourd’hui}

end{aligned}

$\frac{1}{2} \times100-1\timesCall Price=42, 85$ Call Price=7, 14$, c’est-à-dire le prix de l’appel d’aujourd’hui$

Étant donné que cette méthode repose sur l’hypothèse que la valeur du portefeuille reste la même, quelle que soit l’évolution du prix sous-jacent, la probabilité d’une hausse ou d’une baisse ne joue aucun rôle. Le portefeuille reste sans risque, quelle que soit l’évolution du prix sous-jacent.

Dans les deux cas (en supposant que la hausse passe à 110 $ et la baisse à 90 $), votre portefeuille est neutre par rapport au risque et vous obtenez le taux de rendement sans risque.

Ainsi, les deux traders, Peter et Paula, seraient prêts à payer le même montant de 7,14 dollars pour cette option d’achat, malgré leurs perceptions différentes des probabilités de hausse (60 % et 40 %). Les probabilités qu’ils perçoivent individuellement n’ont pas d’importance dans l’évaluation des options.

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En supposant plutôt que les probabilités individuelles comptent, des possibilités d’arbitrage se sont peut-être présentées. Dans le monde réel, ces possibilités d’arbitrage existent avec des écarts de prix mineurs et disparaissent à court terme.

Mais où est la volatilité tant vantée dans tous ces calculs, un facteur important et sensible qui affecte le prix des options ?

La volatilité est déjà incluse par la nature de la définition du problème. En supposant deux (et seulement deux – d’où le nom « binomial ») états des niveaux de prix (110 et 90 dollars), la volatilité est implicite dans cette hypothèse et incluse automatiquement (10% dans les deux cas dans cet exemple).

Black-Scholes

Mais cette approche est-elle correcte et cohérente avec la tarification Black-Scholes communément utilisée ? Les résultats du calculateur d’options (avec l’aimable autorisation de l’OIC) correspondent étroitement à la valeur calculée :

Malheureusement, le monde réel n’est pas aussi simple que « seulement deux États ». L’action peut atteindre plusieurs niveaux de prix avant l’échéance.

Est-il possible d’inclure tous ces niveaux multiples dans un modèle de prix binomial limité à deux niveaux seulement ? Oui, c’est tout à fait possible, mais pour le comprendre, il faut quelques mathématiques simples.

Mathématiques simples

Généraliser ce problème et sa solution :

« X » est le prix actuel du marché d’une action et « X*u » et « X*d » sont les prix futurs pour les mouvements à la hausse et à la baisse « t » des années plus tard. Le facteur « u » sera supérieur à un car il indique une hausse et « d » se situera entre zéro et un. Pour l’exemple ci-dessus, u = 1,1 et d = 0,9.

Les gains des options d’achat sont « Pup » et « Pdn » pour les mouvements à la hausse et à la baisse au moment de l’expiration.

Si vous constituez un portefeuille d’actions « s » achetées aujourd’hui et que vous vendez à découvert une option d’achat, alors après le temps « t » :

begin{aligned} &text{VUM} = s fois X fois u – P_text{up} &textbf{where:} &text{VUM} = text{Valeur du portefeuille en cas de montée en gamme} N – fin{aligné}

$VUM = s \times X \times u - P où : VUM = Valeur du portefeuille en cas de hausse$

&text{VDM} = s fois X fois d – P_text{down} &textbf{where:} &text{VDM} = text{Valeur du portefeuille en cas de baisse} end{aligned}

$VDM=s\timesX\timesd-P_{down} où : VDM=Valeur du portefeuille en cas de baisse$

Pour une évaluation similaire dans les deux cas de variation de prix :

fois X fois u – P_text{up} = s fois X fois d – P_text{down}

$s\timesX\timesu-P$ up $=s\timesX\timesd-P$ down

\begin{matrix} s & =Pup-PdownX\times (u-d) \\ = \end{matrix}

\begin{matrix} Le \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} nombre d’actions à acheter pour \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

s &= frac{ P_text{up} – P_text{down} X fois ( u – d) &= text{The number of shares to purchase for} &phantom{=} text{a risk-free portfolio} end{aligned}

$s = \frac{P _{up} -P _{down}}{X\times ( u-d )} =$ $Le$ $nombre d’actions à acheter pour =un portefeuille sans risque$

La valeur future du portefeuille à la fin des années « t » sera :

In Case of

text{In Case of Up Move} &= s fois X fois u – P_text{up} &=frac { P_text{up} – P_text{down} }{ u – d} times u – P_text{up} end{aligned}

$In Case of Up Move =s\timesX\timesu-P_{up}$ $= \frac{P}{u-d}$ up $-P _{down} \timesu-P$ up

In Case of

text{In Case of Down Move} &= s fois X fois d – P_text{down} &=frac { P_text{up} – P_text{down} }{ u – d} fois d – P_text{down} end{aligned}

$In Case of Down Move =s\timesX\timesd-P_{down}$ $= \frac{P _{up} -P _{down}}{u-d} \timesd-P$ down

La valeur actuelle peut être obtenue en l’actualisant avec le taux de rendement sans risque :

PV=Valeur

\begin{matrix} jour présent \\ r=Taux \end{matrix}

&text{PV} = e(-rt) fois à gauche [ frac { P_text{up} – P_text{down} }{ u – d} fois u – P_text{up} droite ] &textbf{where:} &text{PV} = text{ Valeur du jour présent} &r = text{Rate of return} &t = text{Time, in years} end{aligned}

$PV=e (-rt)\times [\frac{P _{up} -P _{down}}{u-d} \timesu-P_{up}] où : PV=Valeur actuelle r=Taux$ de $rendement t=Temps, en années$

Cela devrait correspondre à la détention en portefeuille de « s » actions au prix X, et la valeur d’appel à découvert « c » (la détention actuelle de (s* X – c) devrait correspondre à ce calcul). La résolution de « c » donne finalement « as » :

Remarque : si la prime d’appel est court-circuitée, elle doit être un ajout au portefeuille et non une soustraction.

c = frac { e(-rt) }{ u – d} fois [ ( e ( -rt ) – d ) fois P_text{up} + ( u – e ( -rt ) ) fois P_text{down} ]

$c = \frac{e ( - r t )}{u - d} \times [(e (- r t) - d) \times P_{up} (u - e (- r t)) \times P_{en bas}]$

Une autre façon d’écrire l’équation est de la réarranger :

En prenant « q » comme :

= frac { e (-rt) – d }{ u – d }

$q= \frac{e (-rt )-d}{u-d}$

L’équation devient alors :

c = e ( -rt ) fois ( q fois P_text{up}

+ (1 – q) fois P_text{down} )

$c=e (-rt)\times (q\timesP_{up} + (1-q)\timesP_{down})$

La réorganisation de l’équation en termes de « q » a offert une nouvelle perspective.

Vous pouvez maintenant interpréter « q » comme la probabilité de la hausse du sous-jacent (car « q » est associé à Pup et « 1-q » est associé à Pdn). Dans l’ensemble, l’équation représente le prix actuel de l’option, la valeur actualisée de son gain à l’expiration.

Ce « Q » est différent

En quoi cette probabilité « q » est-elle différente de la probabilité d’une hausse ou d’une baisse du sous-jacent ?

&text{VSP} = q fois X fois u + ( 1 – q ) fois X fois d &textbf{where:}

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&text{VSP} = text{Valeur du prix de l’action au moment t end{aligned}

$VSP=q\timesX\timesu+ (1-q)\timesX\timesd où : VSP=Valeur$ du prix de l’ $action au$ moment $t$

En substituant la valeur de « q » et en réorganisant, on obtient le cours de l’action au moment « t » :

\begin{matrix}  \end{matrix}

Stock

\begin{matrix} Price=e \end{matrix}

&text{Stock Price} = e ( rt ) times X end{aligned}

$Stock Price=e$ $($ $rt$ $)\timesX$

Dans ce monde supposé à deux États, le cours de l’action augmente simplement du taux de rendement sans risque, exactement comme un actif sans risque, et reste donc indépendant de tout risque. Dans ce modèle, les investisseurs sont indifférents au risque, ce qui constitue le modèle de neutralité du risque.

Les probabilités « q » et « (1-q) » sont connues sous le nom de probabilités neutres vis-à-vis du risque et la méthode d’évaluation est connue sous le nom de modèle d’évaluation neutre vis-à-vis du risque.

L’exemple de scénario comporte une exigence importante : la future structure de remboursement doit être précise (niveau 110 et 90 dollars). Dans la vie réelle, une telle précision sur les niveaux de prix par paliers n’est pas possible ; le prix évolue plutôt de manière aléatoire et peut s’établir à plusieurs niveaux.

Pour élargir l’exemple, supposons que des niveaux de prix en deux étapes sont possibles. Nous connaissons les bénéfices finaux de la deuxième étape et nous devons évaluer l’option aujourd’hui (à l’étape initiale) :

En remontant dans le temps, l’évaluation intermédiaire de la première étape (à t = 1) peut être effectuée en utilisant les gains finaux de la deuxième étape (t = 2), puis en utilisant ces évaluations calculées de la première étape (t = 1), l’évaluation actuelle (t = 0) peut être atteinte avec ces calculs.

Pour obtenir le prix de l’option au numéro deux, on utilise les gains aux numéros quatre et cinq. Pour obtenir la tarification de la troisième option, on utilise les taux de rendement de cinq et six. Enfin, les gains calculés à deux et trois sont utilisés pour obtenir la tarification au numéro un.

Veuillez noter que cet exemple suppose le même facteur pour les mouvements vers le haut (et vers le bas) aux deux étapes – u et d sont appliqués de manière composée.

Un exemple de travail

Supposons qu’une option de vente ayant un prix d’exercice de 110 dollars se négocie actuellement à 100 dollars et expire dans un an. Le taux annuel sans risque est de 5 %. Le prix devrait augmenter de 20 % et diminuer de 15 % tous les six mois.

Ici, u = 1,2 et d = 0,85, x = 100, t = 0,5

en utilisant la formule dérivée ci-dessus de

= frac { e (-rt) – d }{ u – d }

$q= \frac{e (-rt )-d}{u-d}$

on obtient q = 0,35802832

valeur de l’option de vente au point 2,

\begin{matrix} p2=e \end{matrix}

\begin{matrix} (-rt)\times (p×Pupup+ (1-q) Pupdn) \\ où : \\ p=Prix \end{matrix}

&p_2 = e (-rt) fois (p fois P_text{upup} + ( 1 – q) P_text{updn} ) &textbf{where:} &p = text{Prix de l’option de vente} end{aligned}

$p_{2} =e (-rt)\times (p\timesP_{upup} + (1-q) P_{updn}) où : p=Prix de l’option de vente$

À la condition Pup, le sous-jacent sera = 100*1,2*1,2 = 144 $, ce qui donne Pupup = zéro

À la condition Pupdn, le sous-jacent sera = 100*1,2*0,85 = 102 $, ce qui donne Pupdn = 8

A la condition Pdndn, le sous-jacent sera = 100*0,85*0,85 = 72,25 $ conduisant à Pdndn = 37,75

p2 = 0.975309912*(0.35802832*0+(1-0.35802832)*8) = 5.008970741

De même, p3 = 0,975309912*(0,35802832*8+(1-0,35802832)*37,75) = 26,42958924

p1=e

(-rt)\times (q×p2+

p_1 = e ( -rt ) fois ( q fois p_2 + ( 1 – q ) p_3 )

$p$ $_{1} =e (-$ rt) $\times$ ( $q\timesp_{2} +$ $(1-q$ $) p_{3})$

Et donc la valeur de l’option de vente, p1 = 0,975309912*(0,35802832*5,008970741+(1-0,35802832)* 26,42958924) = 18,29 $.

De même, les modèles binomiaux vous permettent de briser la durée totale de l’option pour affiner davantage les étapes et les niveaux multiples. À l’aide de programmes informatiques ou de tableurs, vous pouvez reculer d’une étape à la fois pour obtenir la valeur actuelle de l’option souhaitée.

Autre exemple

Supposons une option de vente de type européen avec une échéance de neuf mois, un prix d’exercice de 12 dollars et un prix sous-jacent actuel de 10 dollars. Supposons un taux sans risque de 5 % pour toutes les périodes. Supposons que tous les trois mois, le prix sous-jacent puisse évoluer de 20 % à la hausse ou à la baisse, ce qui nous donne u = 1,2, d = 0,8, t = 0,25 et un arbre binomial à trois étapes.