Qu’est-ce que la loi des grands nombres ?
La loi des grands nombres, en matière de probabilité et de statistiques, stipule que plus la taille d’un échantillon augmente, plus sa moyenne se rapproche de la moyenne de l’ensemble de la population. Au XVIe siècle, le mathématicien Gerolama Cardano a reconnu la loi des grands nombres mais ne l’a jamais prouvée. En 1713, le mathématicien suisse Jakob Bernoulli a prouvé ce théorème dans son livre, Ars Conjectandi. Il a ensuite été affiné par d’autres mathématiciens de renom, tels que Pafnuty Chebyshev, fondateur de l’école de mathématiques de Saint-Pétersbourg.
Dans un contexte financier, la loi des grands nombres indique qu’une grande entité qui se développe rapidement ne peut pas maintenir ce rythme de croissance éternellement. Les plus grandes des blue chips, avec des valeurs de marché de plusieurs centaines de milliards, sont fréquemment citées comme exemples de ce phénomène.
Points clés à retenir
- La loi des grands nombres stipule qu’une moyenne observée d’un grand échantillon sera proche de la moyenne réelle de la population et que plus l’échantillon est grand, plus il s’en rapprochera.
- La loi des grands nombres ne garantit pas qu’un échantillon donné, en particulier un petit échantillon, reflétera les caractéristiques réelles de la population ou qu’un échantillon qui ne reflète pas la population réelle sera équilibré par un échantillon ultérieur.
- Dans le monde des affaires, le terme « loi des grands nombres » est parfois utilisé dans un sens différent pour exprimer la relation entre l’échelle et les taux de croissance.
Comprendre la loi des grands nombres
Dans l’analyse statistique, la loi des grands nombres peut être appliquée à une variété de sujets. Il n’est peut-être pas possible de sonder chaque individu au sein d’une population donnée pour recueillir la quantité de données requise, mais chaque point de données supplémentaire recueilli peut augmenter la probabilité que le résultat soit une véritable mesure de la moyenne.
Dans le monde des affaires, le terme « loi des grands nombres » est parfois utilisé en relation avec les taux de croissance, exprimés en pourcentage. Elle suggère qu’à mesure qu’une entreprise se développe, le taux de croissance en pourcentage devient de plus en plus difficile à maintenir.
La loi des grands nombres ne signifie pas qu’un échantillon donné ou un groupe d’échantillons successifs reflétera toujours les véritables caractéristiques de la population, en particulier pour les petits échantillons. Cela signifie également que si un échantillon ou une série d’échantillons donnés s’écartent de la véritable moyenne de la population, la loi des grands nombres ne garantit pas que les échantillons successifs feront évoluer la moyenne observée vers la moyenne de la population (comme le suggère le sophisme du joueur).
La loi des grands nombres ne doit pas être confondue avec la loi des moyennes, qui stipule que la distribution des résultats dans un échantillon (grand ou petit) reflète la distribution des résultats de la population.
La loi des grands nombres et l’analyse statistique
Si une personne voulait déterminer la valeur moyenne d’un ensemble de 100 valeurs possibles, elle aurait plus de chances d’obtenir une moyenne précise en choisissant 20 points de données au lieu de se fier à seulement deux. Par exemple, si l’ensemble de données comprend tous les nombres entiers de un à 100, et que l’échantillonneur n’a tiré que deux valeurs, comme 95 et 40, il peut déterminer que la moyenne est d’environ 67,5. S’il a continué à prélever des échantillons aléatoires jusqu’à 20 variables, la moyenne devrait se rapprocher de la vraie moyenne à mesure qu’il prend en compte davantage de points de données.
La loi des grands nombres et la croissance des entreprises
Dans le monde des affaires et de la finance, ce terme est parfois utilisé de manière familière pour faire référence au constat que les taux de croissance exponentielle ne s’échelonnent souvent pas. Cela n’est pas réellement lié à la loi des grands nombres, mais peut résulter de la loi des rendements marginaux décroissants ou des déséconomies d’échelle.
Par exemple, en janvier 2020, les recettes générées par Walmart Inc. ont été enregistrées à 523,9 milliards de dollars alors qu’Amazon.com Inc. a rapporté 280,5 milliards de dollars au cours de la même période. Si Walmart voulait augmenter ses revenus de 50 %, il lui faudrait environ 262 milliards de dollars de recettes. En revanche, Amazon n’aurait besoin que de 140,2 milliards de dollars pour atteindre une augmentation de 50 %. Selon la loi des grands nombres, l’augmentation de 50 % serait jugée plus difficile à réaliser pour Walmart que pour Amazon.
Les mêmes principes peuvent être appliqués à d’autres mesures, telles que la capitalisation boursière ou le bénéfice net. Ainsi, les décisions d’investissement peuvent être guidées en fonction des difficultés connexes que peuvent rencontrer les entreprises à très forte capitalisation boursière en ce qui concerne l’appréciation des actions.