Intérêt composé continu

Les intérêts composés sont les intérêts calculés sur le capital initial et aussi sur les intérêts cumulés des périodes précédentes d’un dépôt ou d’un prêt. L’effet des intérêts composés dépend de la fréquence.

Supposons un taux d’intérêt annuel de 12 %. Si nous commençons l’année avec 100 $ et que nous ne composons qu’une fois, à la fin de l’année, le principal passe à 112 $ (100 $ x 1,12 = 112 $). Si nous composons plutôt chaque mois à 1 %, nous finissons avec plus de 112 $ à la fin de l’année. Autrement dit, 100 $ x 1,01^12 à 112,68 $. (C’est plus élevé parce que nous avons composé plus fréquemment).

Les rendements composés en continu sont les plus fréquents de tous. La capitalisation continue est la limite mathématique que les intérêts composés peuvent atteindre. Il s’agit d’un cas extrême de capitalisation puisque la plupart des intérêts sont composés sur une base mensuelle, trimestrielle ou semestrielle.

Taux de rendement semestriel

Tout d’abord, examinons une convention potentiellement déroutante. Sur le marché obligataire, on parle de rendement équivalent à une obligation (ou base équivalente à une obligation). Cela signifie que si une obligation a un rendement de 6 % sur une base semestrielle, son rendement équivalent est de 12 %.

Le rendement semestriel est simplement doublé. Cela peut prêter à confusion car le rendement effectif d’une obligation à 12 % de rendement équivalent est de 12,36 % (c’est-à-dire 1,06^2 = 1,1236). Le doublement du rendement semestriel n’est qu’une convention de dénomination des obligations. Par conséquent, si nous lisons qu’une obligation à 8 % a un rendement composé semestriel, nous supposons qu’il s’agit d’un rendement semestriel de 4 %.

Taux de rendement trimestriel, mensuel et quotidien

Maintenant, parlons des fréquences plus élevées. Nous supposons toujours un taux d’intérêt annuel du marché de 12 %. Selon les conventions de dénomination des obligations, cela implique un taux composé semestriel de 6 %. Nous pouvons maintenant exprimer le taux composé trimestriel en fonction du taux d’intérêt du marché.

Étant donné un taux de marché annuel (r), le taux composé trimestriel(rq ) est donné par :

begin{aligned} &r_q = 4 left [ left ( frac { r }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 2 } – 1 right ] end{aligned}

r $_{q} =4 [(2$ $r$ $+1)^{\frac{1}{2}} -1]$

Ainsi, pour notre exemple, où le taux annuel du marché est de 12 %, le taux composé trimestriel est de 11,825 % :

&r_q = 4 left [ left ( frac { 12% }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 2 } – 1 right ] cong 11.825% end{aligned}

$r_{q} =4 [(\frac{12%}{2} +1)^{\frac{1}{2} ≅11} -1] ≅11. 8$ $25%$

Une logique similaire s’applique à la composition mensuelle. Le taux composé mensuel(rm) est donné ici comme la fonction du taux d’intérêt annuel du marché(r):

$\begin{matrix} rm & =12 \end{matrix}$
$r_m &= 12 left [ left ( frac { r }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 6 } – 1 right ] &= 12 left [ left ( frac { 12% }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 6 } – 1 right ] &cong 11.$
$^{71% end{aligné}}$

$r_{m} =12 [(\frac{r}{2} +1)$ $^{\frac{1}{6}} -1] =12 [(\frac{12%}{2} +1)^{6}$ $^{xml-ph-0751@deepl.interna}$

Le taux composé quotidien(d) en fonction du taux d’intérêt du marché(r) est donné par :

begin{aligned} r_d &= 360 left [ left ( frac { r }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 180 } – 1 right ] &= 360 left [ left ( frac { 12% }{ 2 } + 1 right ) ^ frac { 1 }{ 180 } – 1 right ] &cong 11.66% end{aligned}

$r_{d} = 36 [(\frac{r}{2} 1)^{\frac{1}{1 8}} - 1] = 36 [(\frac{1 2 %}{2} 1)^{\frac{1}{1 8}} - 1] ≅ 11.66 %$

Comment fonctionne le compoundage continu

Si nous augmentons la fréquence du composé jusqu’à sa limite, nous composons continuellement. Bien que cela ne soit pas pratique, le taux d’intérêt composé en continu offre des propriétés merveilleusement pratiques. Il s’avère que le taux d’intérêt composé en continu est donné par :

begin{aligned} &r_{continuous} = ln ( 1 + r ) end{aligned}

$r_{continuous} =ln (1$ $+r$ $)$

Ln() est le logarithme naturel et dans notre exemple, le taux composé en continu l’est donc :

\begin{matrix} rcontinu=ln (1+0 . 12 \end{matrix}

\begin{matrix} ) =ln (1 \end{matrix}

\begin{matrix} . \end{matrix}

\begin{matrix} 12 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} ) ≅11 \end{matrix}

&r_{continu} = ln ( 1 + 0.12 ) = ln (1.12) cong 11.33% end{aligned}

$r_{continuous} =ln (1+0$ $.$ $12$ $)$ $=ln$ $($ $1$ $.$ $12$ $) ≅11$ . $33%$

Nous arrivons au même endroit en prenant le logarithme naturel de ce rapport : la valeur finale divisée par la valeur initiale.

&r_{continuous} = ln left ( frac { text{Value}_text{End} }{ text{Value}_text{Start} } right ) = ln left ( frac { 112 }{ 100 } right ) cong 11.33% fin{aligné}

$r_{continu} =ln (Valeur _{Début}$ $Valeur _{Fin}) =ln (\frac{112}{100}) ≅11. 33%$

Cette dernière est courante lorsqu’il s’agit de calculer le rendement composé en continu d’une action. Par exemple, si l’action passe de 10 $ un jour à 11 $ le lendemain, le rendement quotidien composé en continu est donné par :

&r_{continuous} = ln left ( frac { text{Value}_text{End} }{ text{Value}_text{Start} } right ) = ln left ( frac { $11 }{ $10 } right ) cong 9.53% fin{aligné}

$r_{continu} =ln (\frac{Valeur _{Fin}}{Valeur _{Début}}) =ln (\frac{11 $}{10 $}) ≅9. 53%$

Qu’y a-t-il de si formidable dans le taux (ou rendement) composé en continu que nous indiquerons avec rc ? Tout d’abord, il est facile de le faire évoluer. Avec un principe de (P), notre richesse finale sur (n) ans est donnée par :

&w = Pe ^ {r_c n}

end{aligned}

$w=Pe^{r_{c} n}$

Notez que e est la fonction exponentielle. Par exemple, si nous commençons avec 100 $ et que nous composons continuellement à 8 % sur trois ans, la richesse finale est donnée par :

begin{aligned} &w = $100e ^ {(0.08)(3)} = $127.12 end{aligned}

$w = 1 e^{(. 8) (3} = 127.12$

L’actualisation à la valeur actuelle (PV) n’est qu’une composition inverse, de sorte que la valeur actuelle d’une valeur future (F) composée en continu à un taux de(rc ) est donnée par :

&text{PV de F reçu en (n) ans} = frac { F }{ e ^ {r_c n} } = Fe ^ {-r_c n} end{aligned}

$PV de F reçu en (n) ans= \frac{F}{e ^{r_{c} n}} =Fe^{-r_{c}}$ $^{n}$

Par exemple, si vous allez recevoir 100 dollars en trois ans à un taux de 6 % en continu, sa valeur actuelle est donnée par

\begin{matrix} PV=Fe-rcn= \end{matrix}

\begin{matrix} ($100) e- ( \end{matrix}

\begin{matrix} . 06) (3) =$100e-0 .18≅$83 \end{matrix}

&text{PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $100 ) e ^ { -(0.06)(3) }

= $100 e ^ { -0.18 } cong $83.53 end{aligned}

$PV=Fe^{-r_{c} n=} ($100$ $) e$ – $^{(}$ $^{. 06) (3)} =$100e^{-0} .18≅$83$ $. 53$

Échelonnement sur plusieurs périodes

La propriété pratique des rendements composés en continu est qu’ils s’échelonnent sur plusieurs périodes. Si le rendement de la première période est de 4 % et celui de la deuxième période de 3 %, le rendement sur deux périodes est de 7 %. Imaginons que nous commencions l’année avec 100 $, qui passe à 120 $ à la fin de la première année, puis à 150 $ à la fin de la deuxième année. Les rendements composés en continu sont respectivement de 18,23 % et 22,31 %.

&ln left ( frac { 120 }{ 100 } right ) cong 18.23% end{aligned}

$ln (\frac{120}{100} ≅18) ≅18$ $.$ $23%$

&ln left ( frac { 150 }{ 120 } right ) cong 22.31% end{aligned}

$ln (\frac{150}{120}) ≅22. 31$ $%$

Si nous les additionnons simplement, nous obtenons 40,55 %. C’est le rendement sur deux périodes :

&ln left ( frac { 150 }{ 100 } right ) cong 40.55% end{aligned}

$ln (\frac{150}{100}) ≅40$ $.$ $55%$

Techniquement parlant, le retour continu est cohérent avec le temps. La cohérence temporelle est une exigence technique pour la valeur à risque (VAR). Cela signifie que si un rendement à une seule période est une variable aléatoire normalement distribuée, nous voulons que les variables aléatoires à plusieurs périodes soient également distribuées normalement. En outre, le rendement composé continu à plusieurs périodes est normalement distribué (contrairement, par exemple, à un simple rendement en pourcentage).

Nous pouvons reformuler les taux d’intérêt annuels en taux d’intérêt semestriels, trimestriels, mensuels ou quotidiens (ou taux de rendement). La composition la plus fréquente est la composition continue, qui nécessite l’utilisation d’un logarithme naturel et d’une fonction exponentielle, qui est couramment utilisée en finance en raison de ses propriétés souhaitables – elle s’échelonne facilement sur plusieurs périodes et elle est cohérente dans le temps.