La définition de la table de distribution normale

Quelle est la distribution normale ?

La formule de distribution normale est basée sur deux paramètres simples – la moyenne et l’écart-type – qui quantifient les caractéristiques d’un ensemble de données donné. Alors que la moyenne indique la valeur « centrale » ou moyenne de l’ensemble des données, l’écart-type indique la « dispersion » ou la variation des points de données autour de cette valeur moyenne.

Exemple

Considérez les 2 ensembles de données suivants :

Ensemble de données 1 = {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}
Ensemble de données 2 = {6, 8, 10, 12, 14, 14, 12, 10, 8, 6}

Pour l’ensemble de données 1, la moyenne = 10 et l’écart-type (stddev) = 0

Pour l’ensemble de données 2, la moyenne = 10 et l’écart-type (stddev) = 2,83

Traçons ces valeurs pour le DataSet1 :

De même pour le DataSet2 :

La ligne horizontale rouge dans les deux graphiques ci-dessus indique la « moyenne » ou la valeur moyenne de chaque ensemble de données (10 dans les deux cas). Les flèches roses dans le deuxième graphique indiquent l’écart ou la variation des valeurs des données par rapport à la valeur moyenne. Ceci est représenté par une valeur d’écart type de 2,83 dans le cas du DataSet2. Comme le DataSet1 a toutes les mêmes valeurs (10 dans chaque cas) et aucune variation, la valeur de l’écart-type est de zéro, et donc aucune flèche rose n’est applicable.

La valeur stddev présente quelques caractéristiques significatives et utiles qui sont extrêmement utiles pour l’analyse des données. Pour une distribution normale, les valeurs des données sont distribuées symétriquement de part et d’autre de la moyenne. Pour tout ensemble de données normalement distribué, en traçant un graphique avec stddev sur l’axe horizontal et le nombre de valeurs de données sur l’axe vertical, on obtient le graphique suivant.

Propriétés d’une distribution normale

La courbe normale est symétrique par rapport à la moyenne ;
La moyenne se situe au milieu et divise la zone en deux moitiés ;
L’aire totale sous la courbe est égale à 1 pour mean=0 et stdev=1 ;
La distribution est complètement décrite par sa moyenne et stddev

Comme le montre le graphique ci-dessus, stddev représente ce qui suit :

68,3 % des valeurs des données se situent à moins d’un écart-type de la moyenne (-1 à +1)
95,4% des valeurs des données se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne (-2 à +2)
99,7 % des valeurs des données se situent à moins de 3 écarts types de la moyenne (-3 à +3)

L’aire sous la courbe en forme de cloche, lorsqu’elle est mesurée, indique la probabilité souhaitée pour une plage donnée :

moins de X : – par exemple, probabilité que les valeurs des données soient inférieures à 70
supérieur à X – par exemple, probabilité que les valeurs des données soient supérieures à 95
entre X1 et X2 – par exemple, probabilité des valeurs des données entre 65 et 85

où X est une valeur d’intérêt (exemples ci-dessous).

Le tracé et le calcul de la zone ne sont pas toujours pratiques, car les différents ensembles de données auront des valeurs moyennes et stddev différentes. Pour faciliter l’application d’une méthode standard uniforme permettant des calculs aisés et l’applicabilité à des problèmes réels, la conversion standard en valeurs Z a été introduite, qui font partie de la table de distribution normale.

Z = (X – moyenne)/stddev, où X est la variable aléatoire.

Fondamentalement, cette conversion oblige à normaliser la moyenne et le stddev à 0 et 1 respectivement, ce qui permet d’utiliser un ensemble standard de valeurs Z définies (provenant de la table de distribution normale) pour des calculs faciles. Voici un instantané de la table standard des valeurs Z contenant les valeurs de probabilité :