Les investisseurs aiment se concentrer sur la promesse de rendements élevés, mais ils doivent aussi se demander quel risque ils doivent assumer en échange de ces rendements. Bien que nous parlions souvent du risque dans un sens général, il existe également des expressions formelles de la relation risque-récompense.
Par exemple, le ratio de Sharpe mesure le rendement excédentaire par unité de risque, où le risque est calculé comme la volatilité, qui est une mesure de risque traditionnelle et populaire. Ses propriétés statistiques sont bien connues et il s’inscrit dans plusieurs cadres, tels que la théorie moderne du portefeuille et le modèle de Black-Scholes. Dans cet article, nous examinons la volatilité afin de comprendre ses utilisations et ses limites.
Écart-type annualisé
Contrairement à la volatilité implicite – qui appartient à la théorie de l’évaluation des options et qui est une estimation prospective basée sur un consensus de marché – la volatilité régulière est rétrospective. Plus précisément, il s’agit de l’écart-type annualisé des rendements historiques.
Les cadres de risque traditionnels qui reposent sur l’écart-type supposent généralement que les rendements sont conformes à une distribution normale en forme de cloche. Les distributions normales nous donnent des indications pratiques : dans environ deux tiers des cas (68,3 %), les rendements devraient se situer dans un écart type (+/-) ; et dans 95 % des cas, les rendements devraient se situer dans deux écarts types. Les deux qualités d’un graphique de distribution normale sont les « queues » maigres et la symétrie parfaite. Les queues maigres impliquent une très faible occurrence (environ 0,3 % du temps) de retours qui sont éloignés de plus de trois écarts types de la moyenne. La symétrie implique que la fréquence et l’ampleur des gains à la hausse sont une image miroir des pertes à la baisse.
Par conséquent, les modèles traditionnels traitent toute incertitude comme un risque, quelle que soit sa direction. Comme beaucoup l’ont montré, c’est un problème si les rendements ne sont pas symétriques – les investisseurs s’inquiètent de leurs pertes « à gauche » de la moyenne, mais ils ne s’inquiètent pas des gains à droite de la moyenne.
Nous illustrons cette bizarrerie ci-dessous avec deux actions fictives. La valeur à la baisse (ligne bleue) est totalement dépourvue de dispersion et produit donc une volatilité de zéro, mais la valeur à la hausse – parce qu’elle présente plusieurs chocs à la hausse mais pas une seule baisse – produit une volatilité (écart-type) de 10 %.
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Propriétés théoriques
Par exemple, lorsque nous calculons la volatilité de l’indice S&P 500 au 31 janvier 2004, nous obtenons entre 14,7% et 21,1%. Pourquoi une telle fourchette ? Parce que nous devons choisir à la fois un intervalle et une période historique. En ce qui concerne l’intervalle, nous pourrions recueillir une série de rendements mensuels, hebdomadaires ou quotidiens (même intra-journaliers). Et notre série de déclarations peut s’étendre sur une période historique de n’importe quelle durée, par exemple trois ans, cinq ans ou dix ans. Nous avons calculé ci-dessous l’écart type des rendements du S&P 500 sur une période de 10 ans, en utilisant trois intervalles différents :
Remarquez que la volatilité augmente avec l’intervalle, mais pas de façon proportionnelle : la semaine n’est pas près de cinq fois le montant quotidien et le mois n’est pas près de quatre fois la semaine. Nous sommes arrivés à un aspect clé de la théorie de la marche aléatoire : les échelles d’écart-type (augmente) en proportion de la racine carrée du temps. Par conséquent, si l’écart-type quotidien est de 1,1 %, et s’il y a 250 jours de bourse dans une année, l’écart-type annualisé est l’écart-type quotidien de 1,1 % multiplié par la racine carrée de 250 (1,1 % x 15,8 = 18,1 %). Sachant cela, nous pouvons annualiser les écarts-types des intervalles pour le S&P 500 en multipliant par la racine carrée du nombre d’intervalles dans une année :
Une autre propriété théorique de la volatilité peut ou non vous surprendre : elle érode les rendements. Cela est dû à l’hypothèse clé de l’idée de marche aléatoire : que les rendements sont exprimés en pourcentages. Imaginez que vous commencez avec 100 $ et que vous gagnez 10 % pour obtenir 110 $. Vous perdez ensuite 10 %, ce qui vous rapporte 99 $ (110 $ x 90 % = 99 $). Puis vous gagnez à nouveau 10 %, ce qui vous rapporte 108,90 $ (99 $ x 110 % = 108,9 $). Enfin, vous perdez 10 %, ce qui vous rapporte 98,01 $. C’est peut-être contre-intuitif, mais votre capital s’érode lentement, même si votre gain moyen est de 0 % !
Si, par exemple, vous vous attendez à un gain annuel moyen de 10 % par an (c’est-à-dire une moyenne arithmétique), il s’avère que votre gain attendu à long terme est inférieur à 10 % par an. En fait, il sera réduit d’environ la moitié de la variance (où la variance est l’écart-type au carré). Dans l’hypothèse pure ci-dessous, nous commençons avec 100 $ et imaginons ensuite cinq années de volatilité pour finir avec 157 $ :
Le rendement annuel moyen sur les cinq ans était de 10 % (15 % + 0 % + 20 % – 5 % + 20 % = 50 % ÷ 5 = 10 %), mais le taux de croissance annuel composé (TCAC, ou rendement géométrique) est une mesure plus précise du gain réalisé, et il n’était que de 9,49 %. La volatilité a érodé le résultat, et la différence est environ la moitié de la variance de 1,1 %. Ces résultats ne sont pas tirés d’un exemple historique, mais en termes d’attentes, compte tenu d’un écart-type de σ (la variance est le carré de l’écart-type),
σsigma σ 2et d’un gain moyen attendu
μle rendement annualisé attendu est
).σ2sigmaμ-(σ2÷2).
Les retours sont-ils bien faits ?
Le cadre théorique est sans doute élégant, mais il dépend de rendements bien élevés. A savoir, une distribution normale et une marche aléatoire (c’est-à-dire une indépendance d’une période à l’autre). Comment cela se compare-t-il à la réalité ? Nous avons recueilli des rendements quotidiens au cours des dix dernières années pour le S&P 500 et le Nasdaq ci-dessous (environ 2 500 observations quotidiennes) :
Comme vous pouvez vous en douter, la volatilité du Nasdaq (écart-type annualisé de 28,8 %) est plus importante que celle du S&P 500 (écart-type annualisé de 18,1 %). Nous pouvons observer deux différences entre la distribution normale et les rendements réels. Premièrement, les rendements réels présentent des pics plus élevés – ce qui signifie une plus grande prépondérance de rendements proches de la moyenne. Deuxièmement, les rendements réels ont des queues plus grosses. (Nos conclusions s’alignent quelque peu sur des études universitaires plus approfondies, qui tendent également à trouver des pics plus hauts et des queues plus grosses ; le terme technique pour cela est kurtosis). Disons que nous considérons que moins trois écarts types est une grande perte : le S&P 500 a connu une perte quotidienne de moins trois écarts types dans environ -3,4 % des cas. La courbe normale prévoit qu’une telle perte se produirait environ trois fois en 10 ans, mais elle s’est produite en réalité 14 fois !
Il s’agit de distributions de rendements d’intervalles séparés, mais que dit la théorie sur les rendements dans le temps ? À titre d’essai, examinons les distributions quotidiennes réelles du S&P 500 ci-dessus. Dans ce cas, le rendement annuel moyen (au cours des 10 dernières années) était d’environ 10,6 % et, comme nous l’avons vu, la volatilité annualisée était de 18,1 %. Ici, nous effectuons un essai hypothétique en commençant par 100 $ et en le maintenant pendant 10 ans, mais nous exposons l’investissement chaque année à un résultat aléatoire qui s’est élevé en moyenne à 10,6 % avec un écart-type de 18,1 %. Cet essai a été réalisé 500 fois, ce qui en fait une simulation dite de Monte Carlo. Les résultats finaux des 500 essais sont présentés ci-dessous :
Une distribution normale est indiquée en toile de fond uniquement pour mettre en évidence les résultats très peu normaux des prix. Techniquement, les résultats finaux des prix sont log-normaux (ce qui signifie que si l’axe des x était converti en logarithme naturel de x, la distribution semblerait plus normale). Le fait est que plusieurs résultats de prix sont bien plus à droite : sur 500 essais, six résultats ont produit un résultat de fin de période de 700 $ ! Ces quelques précieux résultats ont permis de gagner plus de 20% en moyenne, chaque année, sur 10 ans. À gauche, parce qu’un solde dégressif réduit les effets cumulés des pertes en pourcentage, nous n’avons obtenu qu’une poignée de résultats finaux inférieurs à 50 dollars. Pour résumer une idée difficile, nous pouvons dire que les rendements d’intervalle – exprimés en pourcentage – sont normalement distribués, mais que les résultats finaux en termes de prix sont log-normalement distribués.
Enfin, une autre conclusion de nos essais est cohérente avec les « effets d’érosion » de la volatilité : si votre investissement gagnait exactement la moyenne chaque année, vous détiendriez environ 273 dollars à la fin (10,6 % composés sur 10 ans). Mais dans cette expérience, notre gain global escompté était plus proche de 250 $. En d’autres termes, le gain annuel moyen (arithmétique) était de 10,6 %, mais le gain cumulé (géométrique) était inférieur.
Il est essentiel de garder à l’esprit que notre simulation suppose une marche aléatoire : elle suppose que les retours d’une période à l’autre sont totalement indépendants. Nous n’avons pas prouvé cela, et ce n’est pas une hypothèse banale. Si vous pensez que les rendements suivent des tendances, vous dites techniquement qu’ils présentent une corrélation sérielle positive. Si vous pensez qu’ils reviennent à la moyenne, alors techniquement, vous dites qu’ils présentent une corrélation en série négative. Aucune de ces deux positions n’est cohérente avec l’indépendance.
La volatilité est l’écart-type annualisé des rendements. Dans le cadre théorique traditionnel, elle ne mesure pas seulement le risque, mais affecte l’espérance des rendements à long terme (sur plusieurs périodes). En tant que telle, elle nous demande d’accepter les hypothèses douteuses selon lesquelles les rendements d’intervalle sont normalement distribués et indépendants. Si ces hypothèses sont vraies, une forte volatilité est une arme à double tranchant : elle érode votre rendement à long terme attendu (elle réduit la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique), mais elle vous donne aussi plus de chances de réaliser quelques gros gains.